Cách Xác Định Tâm Đường Tròn Ngoại Tiếp Tam Giác

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là kiến thức trọng tâm cho môn toán hình. Cùng theo dõi bài viết dưới đây để có thể củng cố thêm kiến thức và làm quen với các dạng bài tập khác nhau nhé.

1. Tâm đường tròn ngoại tiếp trong tam giác là gì?

Để có thể hiểu rõ và biết cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, đầu tiên chúng ta sẽ đi tìm hiểu khái niệm và tính chất của nó ngay sau đây.

1.1 Khái niệm

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác bất kỳ. Giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác sẽ tạo thành tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Hay nó còn thường được gọi là tam giác nội tiếp của hình tròn.

Chẳng hạn, ta có ví dụ sau:

Hình ảnh minh hoạ về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Đường trung trực của AB là đường thẳng đi qua trung điểm F của đoạn thẳng AB và vuông góc với đoạn thẳng AB. Mọi điểm I mà thuộc trung trực của đoạn thẳng AB đều bằng nhau IA = IB. 

Có thể thấy rằng, ba đường trung trực tam giác ABC thì đồng quy tại một điểm. Gọi I là điểm giao của ba đường trung trực trong giam giác ABC thì ta sẽ có đoạn thẳng IA = đoạn thẳng IB = đoạn thẳng IC. Vì vậy mà I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. 

1.2 Tính chất

Một số tính chất của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường tròn ngoại tiếp tam giác có một số tính chất như sau:

• Mọi tam giác đều chỉ có một đường tròn ngoại tiếp duy nhất. 
• Giao điểm của ba đường phân giác vuông góc của tam giác đóng vai trò là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và bán kính của chu vi của nó được xác định bằng khoảng cách giữa ba đỉnh của nó. 
• Chính giữa cạnh huyền đóng vai trò là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông. 
• Tâm đường tròn có chung đường tròn ngoại tiếp tam giác và đường tròn nội tiếp tam giác đều.

Chẳng hạn: Cho ΔNMP cân tại N, nội tiếp đường tròn (O), đường cao NH cắt (O) ở K. Vì sao NK là đường kính của (O)?

Lời giải: Vì tâm O là giao điểm của 3 đường trung trực của  tam giác NMP mà  tam giác NMP cân ở N nên đường cao NH cũng chính là trung trực ⇒ O ∈ NH

Nên: NK là dây qua tâm ⇒ Suy ra: NK là đường kính của đường tròn O

2. Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp trong tam giác

Để có thể xác định được tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cần lưu ý một số điểm sau:

• Tam giác có 3 đỉnh cách đều 1 điểm thì điểm đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
• Quỹ tích của các điểm nhìn sang đoạn thẳng AB với một góc vuông sẽ là đường tròn có đường kính AB

Ta có 2 cách để có thể xác định được tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là:

a) Cách 1

Bước 1: Gọi K(x;y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác EFJ. Ta có các đoạn thẳng KE = KF = KJ và bằng bán kính R

Bước 2: Tọa độ tâm K là nghiệm của hệ phương trình:

KE bình phương = KF bình phương

KE bình phương = KJ  bình phương

b) Cách 2

Bước 1: Tìm và viết được các phương trình đường trung trực của hai cạnh trong tam giác bất kỳ.

Bước 2: Sau đó, tìm giao điểm của hai đường trung trực đã tìm ra ở bước 1 và giao điểm của hai đường trung trực chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Tóm lại, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác NMP cân tại N nằm trên đường cao NH và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A là trung điểm cạnh huyền BC.

Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC siêu chi tiết

Để có thể xác định được tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác theo cách 2, ta cần tìm được phương trình của đường tròn ngoại tiếp tam giác khi biết tọa độ 3 đỉnh. Để có thể giải được bài toán về phương trình đường tròn của ngoại tiếp tam giác ta thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1: Đầu tiên, ta thay tọa độ mỗi đỉnh của tam giác vào phương trình với ẩn a,b,c (Bởi vì các đỉnh của tam giác thuộc đường tròn ngoại tiếp, vì vậy, tọa độ các đỉnh trong tam giác thỏa mãn phương trình đường tròn ngoại tiếp mà ta cần tìm)

Bước 2: Giải hệ phương trình để tìm ra các hằng số a,b,c tương ứng với các đỉnh trong tam giác.

Bước 3: Tiếp theo, ta thay giá trị vừa tìm được như a,b,c vào phương trình tổng quát để tìm ra phương trình đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

Bước 4: Do đỉnh của tam giác thuộc đường tròn ngoại tiếp nên ta có hệ phương trình sau:

x(A) bình phương + y(A) bình phương – 2ax(A) – 2by(A) + c = 0

x(B) bình phương + y(B) bình phương – 2ax(B) – 2by(B) + c = 0

x(C) bình phương + y(C) bình phương – 2ax(C) – 2by(C) + c = 0

=> Giải hệ phương trình trên ta sẽ tìm được các hằng số a, b, c. 

3. Một số bài tập tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Để có thể giúp các bạn nắm rõ và hiểu hơn các kiến thức về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, sau đây là một số bài tâp để các bạn thực hành.

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại B, và AB = 6cm, BC = 8cm. Q là trung điểm của AC. Hãy xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bao nhiêu?

Giải: Áp dụng định lý Pytago, ta có: CQ = 1/2 AC

Nên AQ = QB = QC = 5cm

Gọi D là trung điểm AC.

Vì tam giác ABC vuông tại B có BQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC nên Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Suy ra: Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm Q của cạnh huyền AC và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là R = AQ = 5cm

Bài 2: Cho tam giác đều ABC với các cạnh bằng 12cm. Hãy xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC? MNP

Giải: Gọi Q, I lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB và AQ giao với CI tại điểm O.

Vì  tam giác đều ABC nên đường trung tuyến đồng thời cũng là đường cao, đường phân giác và đường trung trực của tam giác (tính chất tam giác đều)

Vậy nên, O chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Tam giác ABC có CI là đường trung tuyến nên CI cũng là đường cao trong tam giác.

Từ đó, ta áp dụng định lý Pytago:

CI² = AC² – AI² = 122 – 62 = 108 (cm).

=> CI = 6√3cm.

Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên: CO = 2/3 CI = 2/3 x 6√3 = 4√3 (cm).

Các bài tập tự áp dụng như sau:

Bài 1: Đường cao AD, đường cao BE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H (góc C không phải góc vuông) và cắt đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại N và M.

a, Chứng minh rằng CDHE nội tiếp và xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp của nó.

b, Chứng minh tam giác CNM là tam giác cân.

Bài 2: Cho tam giác NMP có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R). Ba đường của tam giác là NF, ME và PD cắt nhau tại K. Chứng minh tứ giác MDEP là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm G của đường tròn ngoại tiếp đó.

Bài 3: Cho tam giác EFJ vuông tại E có EF < EJ, đường cao EH (H thuộc EJ). Lấy điểm D sao cho H là trung điểm của FD. Gọi A là chân đường vuông góc hạ từ J xuống đường thẳng ED. Chứng minh tứ giác EHAJ nội tiếp và xác định vị trí tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

Như vậy, trên đây là tổng hợp kiến ​​thức từ nhiều bài tập, khái niệm, tính chất, kiến ​​thức liên quan đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Hy vọng bài viết này có thể giúp bạn nắm vững kiến ​​thức và tìm ra lời giải cho các bài toán liên quan.