Đường Trung Bình Của Tam Giác Là Gì? Định Lý & Bài Tập

Chắc hẳn các bạn học sinh không còn xa lạ gì với đường trung bình của tam giác trong toán học, nhưng không phải ai cũng hiểu rõ định nghĩa cũng như công thức của nó, cùng tìm hiểu ngay về đường trung bình của tam giác trong bài viết này nhé

1. Định nghĩa đường trung bình tam giác

Trong toán học, đường trung bình của tam giác được định nghĩa là đoạn thẳng nối hai trung điểm bất kỳ trong một tam giác, ba cạnh của tam giác sẽ tạo ra ba đường trung bình và đường trung bình của tam giác sẽ tạo ra các cặp cạnh tỉ lệ với nhau và song song với cạnh còn lại.

Trong trường hợp đặc biệt, nếu là tam giác đặc biệt như tam giác đều hay tam giác cân, đường trung bình của các tam giác này có thể bằng nửa cạnh thứ ba

MN là đường trung bình của tam giác ABC

2. Định lý về đường trung bình trong tam giác

Trong một vài dạng bài tập, cần hiểu rõ về các định lý của đường trung bình trong tam giác mới có thể làm đúng yêu cầu của đề bài. Đường trung bình của tam giác có 2 định lý chính

Định lý 1 

Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đường thẳng đó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba

Dạng bài thường gặp ở định lý này là dạng bài liên quan đến cạnh và góc, bao gồm cách tính và chứng minh các hệ thức về cạnh và góc

Định lý 2

Đường trung bình của tam giác bằng ½ cạnh thứ 3 và song song với cạnh ấy. Dạng toán thường được áp dụng là chứng minh một đường thẳng là đường trung bình của một tam giác

3. Tính chất của đường trung bình của tam giác

• Một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam giác và song song với một cạnh thứ 3 thì sẽ đi qua trung điểm của cạnh thứ 2 (cạnh còn lại)
• Đường trung bình của tam giác luôn song song với cạnh thứ ba và bằng ½ độ dài của cạnh đó 

Trong các dạng bài tập liên quan hầu hết người học đều phải vận dụng các tính chất đường trung bình để chứng minh các đẳng thức và yêu cầu đề ra 

Tính chất đường trung bình của tam giác vuông

Tam giác vuông là tam giác có 2 cạnh tạo nên một góc 90 độ, khi nối 2 trung điểm của 2 cạnh góc vuông ta sẽ được một đường trung bình song song với cạnh còn lại, còn khi nối trung điểm của một cạnh góc vuông và 1 cạnh thường thì đường trung bình sẽ vuông góc với một cạnh góc vuông

VD:

Ví dụ về đường trung bình trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông MNP ta có OQ là đường trung bình của tam giác và OQ song song và bằng một nửa cạnh MN. Đặc biệt đây là trường hợp tam giác vuông nên OQ sẽ vuông góc với MP

Cách chứng minh đường trung bình của tam giác vuông 

Để chứng minh 1 đường thẳng là đường trung bình của tam giác vuông thì trước hết đường thẳng đó phải song song với một trong ba cạnh của tam giác

Tiếp theo thì đường thẳng phải đáp ứng yêu cầu là vuông góc với 1 trong 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông

Đặc biệt, đường trung bình của tam giác vuông hay được liên hệ và vận dụng trong các dạng bài của hình thang vuông, bạn cần nắm rõ về phần lý thuyết này để học chắc những phần sau. 

4. Các dạng toán phổ biến về đường trung bình của tam giác

Dạng 1: Dạng liên quan đến cạnh và góc, bao gồm các dạng như tính độ dài cạnh, số độ của góc hay chứng minh các hệ thức liên quan

Để có thể giải quyết dạng toán này, phương pháp được áp dụng chủ yếu là dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác kết hợp với các kiến thức về góc và cạnh khác. Cụ thể là định lý 1 và định lý 2 như đã nêu ở trên 

Dạng 2: Là dạng chứng minh một đường thẳng bất kì là đường trung bình của tam giác.

Để có thể làm được dạng bài tập này, bạn cần hiểu và áp dụng định nghĩa đường trung bình của tam giác. Từ kiến thức đường trung bình là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác lại với nhau ta sẽ chứng minh được đường thẳng đó là đường trung bình của tam giác

5. Một số bài tập mẫu về đường trung bình trong tam giác

Bài tập 1:

Hình minh họa bài tập 1

Xét tam giác ABC có:

• I là trung điểm của AB
• J là trung điểm của BC

Theo định lý đường trung bình của tam giác ta suy ra được IJ là đường trung bình tam giác ABC 

Bài tập 2: Cho tam giác MNP, các đường trung tuyến NA và PB cắt nhau ở C. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của NA, BP. Chứng minh rằng BA//DE, BA= DE.

* Trong MNP, ta có:

B là trung điểm của MN (giả thiết)

A là trung điểm của MP (giả thiết)

Nên AB là đường trung bình của MNP

Theo tính chất đường trung bình của tam giác

AB//DE và AB = NP/2 (1)

* Trong NPC, ta có:

D là trung điểm của NC (gt)

E là trung điểm của PC (gt)

Nên DE là đường trung bình của NPC

Lại từ tính chất đường trung bình tam giác, suy ra:

DE // NP và DE = NP/2 (2)

Từ (l) và (2) suy ra: AB // DE, AB = DE

Một số bài tập luyện thêm 

Bài 1: Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Đoạn thẳng CD cắt AM tại điểm I. Chứng minh rằng

a) EM // DC

b) I là trung điểm AM

c) DC = 4DI

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tia Mx song song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh:

a) EF là đường trung bình của tam giác ABC;

b) AM là đường trung trực của EF.

Bài 2: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh

a)  AFD cân tại F

b) Tam giác BAF =Tam giác CDF 

Bài 3: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến ứng với cạnh BC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = ½ DC. Kẻ Mx song song song với BD và cắt AC tại E. Đoạn BD cắt AM tại I. Chứng minh rằng: 

a) AD = DE = EC;

b) SAIB = SIBM ;

c) SABC = SIBC .

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ H kẻ Hx vuông góc với AB tại P, Hy vuông góc với AC tại Q. Trên các tia Hx, Hy lần lượt lấy các điểm D và E sao cho PH = PD; QH = QE. Chứng minh:

a) A là trung điểm của DE

b) PQ = ½ DE 

c) PQ = AH

Kết luận: Bài viết trên là toàn bộ những kiến thức quan trọng liên quan đến đường trung bình của tam giác, các bạn cần nắm rõ các kiến thức như định lý và tính chất để vận dụng vào bài tập. Để biết thêm nhiều dạng bài cũng như những thông tin toán học bổ ích hãy tiếp tục theo dõi chúng tôi nhé.